Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Bài viết lách giúp đỡ bạn hiểu dò la hiểu công thức tính thể tích khối chóp. Từ cơ phần mềm giải những dạng bài xích luyện theo đòi từng khối chóp không giống nhau như khối chóp sở hữu cạnh mặt mũi vuông góc lòng, khối chóp sở hữu hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt bằng lòng, khối chóp xuất hiện mặt mũi vuông góc với lòng, khối chóp đều, …

Công thức

Thể tích khối chóp được xem vị một trong những phần phụ thân tích của độ cao nhân với diện tích S lòng. Công thức tổng quát: V = 1/3.Sh, Trong số đó S là diện tích S lòng và h là độ cao.

Bạn đang xem: Thể tích khối chóp: Công thức tính và phân dạng bài tập

Nhận xét

– Thể tích khối chóp vị một trong những phần phụ thân thể tích hình lăng trụ sở hữu công cộng lòng và độ cao với hình chóp.

– Có sự tương đương thân thuộc công thức thể tích khối chóp với công thức diện tích S tam giác (nửa tích độ cao và cạnh đáy) Lúc không ngừng mở rộng kể từ không khí hai phía lên không khí 3 chiều.

Phân dạng bài xích tập

Dạng 1. Khối chóp sở hữu cạnh mặt mũi vuông góc đáy

Phương pháp giải

– Một hình chóp sở hữu một cạnh mặt mũi vuông góc với lòng thì cạnh vị trí kia đó là lối cao.

– Một hình chóp sở hữu nhì mặt mũi mặt kề nhau nằm trong vuông góc với lòng thì cạnh mặt mũi là uỷ thác tuyến của nhì mặt mũi cơ vuông góc với lòng.

Bài luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt mũi bằng (ABC). Góc thân thuộc đường thẳng liền mạch SB và mặt mũi bằng (ABC) vị 30°. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu góc thân thuộc đường thẳng liền mạch SB và mặt mũi bằng (ABC) là SBA = 30°.

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu độ cao SA vị a. Mặt lòng ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC vị 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo đòi a.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều cạnh a nên

⇒ Diện tích đáy:

Thể tích khối chóp:

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn với . Cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi bằng (ABCD), cạnh mặt mũi SB phù hợp với mặt mũi bằng (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên trên bề mặt bằng (ABCD)

Nên (SB, (ABCD)) = SBA = 60°;

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là độ cao của khối chóp S.ABCD

Tính được

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho tứ diện OABC sở hữu lòng OBC là tam giác vuông bên trên O, OB = a, , (a > 0) và lối cao . Tính thể tích khối tứ diện theo đòi a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thế tích khối tứ diện

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° cạnh SA vuông góc với lòng và SC tạo nên với lòng một góc 60°. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu ∆ABC đều nên AC = a.

Có:

Suy đi ra

Mặt không giống

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi sở hữu cạnh vị , BAD = 120° và cạnh mặt mũi SA vuông góc với lòng. tường mặt mũi bằng (SBC) và lòng vị 60°. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Do lòng ABCD là hình thoi sở hữu BAD = 120° nên những tam giác ABC, ADC đều cạnh .

Gọi H là trung điểm của BC, tớ có:

AH ⊥ BC, SA ⊥BC ⇒ BC ⊥ SH

Do đó: ((SBC); (ABCD)) = (AH; SH) = SHA = 60°

Tam giác SAH vuông bên trên A:

Ta có:

Suy ra:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, AB = 2a, BAC = 60°. Cạnh mặt mũi SA vuông góc với mặt mũi bằng (ABC) và . Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 2a³

B. V = 3a³

C. V = a³

D. V = 4a³

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B sở hữu góc BAC = 30°, SA = a, SCA = 45° và SA vuông góc với lòng. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số ngay gần độ quý hiếm nào là nhất trong số độ quý hiếm sau:

A. 0,01

B. 0,05

C. 0,08

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu SCA = 45°

⇒ AC = SA.tanSCA = a

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, lòng ABCD là hình chữ nhật sở hữu AB = 2a, AD = a. Hai mặt mũi bằng (SAB) và (SAD) nằm trong vuông góc với lòng, góc thân thuộc nhì mặt mũi bằng (SAB) và (SBD) vị 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm nào là bên dưới đây:

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 1,5

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = AB.AD = 2a²

(SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD)

(SAB) ⋂ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD)

Ta có:

AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB)

⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AHD)

⇒ SB ⊥ HD.

Ta có:

⇒ AH = AD = a

Xét tam giác SAB vuông bên trên S có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC sở hữu cạnh mặt mũi SA vuông góc với lòng và AB = a, AC = 2a, BAC = 120°. Mặt bằng (SBC) tạo nên với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Khi cơ SF ⊥ BC, suy ra

((SBC), (ABC)) = SFA = 60°

⟹ Chọn A

Dạng 2. Khối chóp sở hữu hình chiếu của đỉnh lên trên bề mặt bằng đáy

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình chữ nhật sở hữu AB = a, , H là trung điểm của cạnh AB. tường nhì mặt mũi bằng (SHC) và (SHD) nằm trong vuông góc với mặt mũi lòng, đường thẳng liền mạch SD tạo nên với mặt mũi lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⇒ SH ⊥ (ABCD)

⇒ SH là độ cao của hình chóp S.ABCD

Ta sở hữu HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

⇒ (SD, ABCD) = (SD, HD) = SDH = 60°

⇒

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mũi bằng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc thân thuộc đường thẳng liền mạch SC và mặt mũi bằng (ABC) vị 60°. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: (SC, (ABC)) = SCH = 60°

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC sở hữu góc thân thuộc SC và mặt mũi lòng vị 45°, lòng ABC là tam giác vuông bên trên A sở hữu AB = 2a , góc ABC = 60° và hình chiếu của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông bên trên A:

Tam giác AHC vuông bên trên H:

SCH = (SC, (ABC)) = 45°.

Xét tam giác SHC vuông bên trên H:

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B; AB = 2a, AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S bên trên mặt mũi bằng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc thân thuộc cạnh mặt mũi SA và mp (ABC) vị 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 3a³

B. V = a³

C. V = 4a³

D. V =

Hướng dẫn giải

Ta có: SH ⊥ (ABC)

⇒ Góc thân thuộc SA và (ABC) là SAH = 60°

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao mang đến , cạnh AC hạn chế MD bên trên H. tường SH vuông góc với mặt mũi bằng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD.

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông AMD và DAC sở hữu nên đồng dạng,

Suy đi ra ADH = DCH, nhưng mà ADH + HDC = 90° ⇒ DHC = 90°

∆ADC vuông bên trên D:

Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC

Suy ra:

∆DHC vuông bên trên H:

Do cơ diện tích S

Thể tích khối chóp

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC sở hữu ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Theo fake thiết sở hữu SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B

Có

Ta sở hữu

Xét tam giác SGE vuông bên trên G sở hữu

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn A

Câu 7. Cho ABCD là hình vuông vắn cạnh vị 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M dựng đường thẳng liền mạch vuông góc (ABCD) và bên trên cơ lấy điểm S sao mang đến . Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD theo thứ tự là x, hắn, z. Giá trị là:

A. −17,2

B. −247,6

C. 8,4

D. 5,2

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, , Ngân Hàng Á Châu ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên trên bề mặt bằng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc thân thuộc SE và mặt mũi bằng lòng là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông bên trên B có

Do ABC vuông bên trên B nên:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, mặt mũi mặt SAB là tam giác đều, mặt mũi mặt SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số sớm nhất độ quý hiếm nào là bên dưới đây:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

S_ABCD = a²

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD.

Kẻ SH ⊥ MN

Ta có: CD ⊥ MN, CD ⊥ SN

⇒ CD ⊥ (SMN)

⇒ CD ⊥ SH nhưng mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Ta sở hữu SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân nặng bên trên S

⇒

Tam giác SMN có:

⇒ Tam giác SMN vuông bên trên S ⇒

Do vậy

⟹ Chọn B

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60°, hình chiếu vuông góc của S bên trên mặt mũi bằng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt bằng (SAC) phù hợp với mặt mũi bằng (ABCD) góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD vị V. Giá trị là:

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Gọi O = AC ⋂ BD.

Ta sở hữu AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ (SBD)

⇒ AC ⊥ SO. Mặt không giống OB ⊥ AC

⇒ ((SAC), (ABCD)) = SOB = 45°

Xét tam giác SOG vuông bên trên G:

Vậy

⟹ Chọn C

Dạng 3. Khối chóp xuất hiện mặt mũi vuông góc với đáy

Phương pháp giải

Để xác lập lối cao hình chóp tớ áp dụng ấn định lí sau:

Bài luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên B, BA = 3a, BC = 4a; mặt mũi bằng (SBC) vuông góc với mặt mũi bằng (ABC). tường và SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

B. V = a³

Hướng dẫn giải

Kẻ SH vuông góc BC suy đi ra SH vuông góc mp (ABC)

⟹ Chọn D

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn cạnh vị 4, mặt mũi mặt SAB là tam giác đều và nằm trong mặt mũi bằng vuông góc với lòng. Gọi M, N, Phường theo thứ tự là trung điểm của những cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là hắn. Giá trị x, hắn thoả mãn bất đẳng thức nào là bên dưới đây:

A. x² + 2xy − y² > 160

B. x² − 2xy + 2y² < 109

C. x² + xy − y⁴ < 145

D. x² − xy + y⁴ > 125

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ABC đều và (SAB) ⊥ (ABCD)

Xét ∆ABC đều:

Ta có:

Gọi AN ∩ HD = {K} tớ sở hữu MK là lối khoảng của ∆DHS

Thay vô những đáp án

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn sở hữu cạnh a. Mặt mặt mũi SAB là tam giác đều nằm trong mặt mũi bằng vuông góc với lòng ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB.

∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân lối cao của khối chóp.

Ta sở hữu tam giác SAB đều nên

Suy đi ra

⟹ Chọn B

Câu 4. Cho tứ diện ABCD sở hữu ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân nặng bên trên D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD phù hợp với (BCD) một góc 60°, AD = a. Thể tích tứ diện ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta sở hữu tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)

Suy ra: (AD, (BCD)) = ADH = 60°

Ta sở hữu

Suy đi ra

⟹ Chọn C

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông cân nặng bên trên B, sở hữu BC = a. Mặt mặt mũi SAC vuông góc với lòng, những mặt mũi mặt sót lại đều tạo nên với mặt mũi lòng một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Kẻ SH ⊥ BC vì thế mp (SAC) ⊥ mp (ABC) nên SH ⊥ mp (ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H bên trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo đòi fake thiết SIH = SJK = 45°

Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI ⊥ HJ.

Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là lối phân giác của ∆ABC kể từ cơ suy đi ra H là trung điểm của AC.

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân nặng bên trên S và nằm trong mặt mũi bằng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:

⟹ Chọn C

Câu 7. Tứ diện ABCD sở hữu ABC và BCD là nhì tam giác đều theo thứ tự nằm trong nhì mặt mũi bằng vuông góc cùng nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta nhằm ý: ∆ABC = ∆DBC ⇒ AH = DH

Do cơ tam giác AHD vuông cân nặng bên trên H.

Suy ra: mà

Do đó:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu BAC = 90°; ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Ta có:

Xem thêm: Hãy trình bày các biện pháp bảo vệ tài nguyên rừng và đất rừng.

Do đó:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và nằm trong mặt mũi bằng vuông góc với lòng (ABCD), biết , SC tạo nên với mặt mũi lòng (ABCD) một góc 60°. Tính theo đòi a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

Theo fake thiết tớ sở hữu SM ⊥ (ABCD)

MC là hình chiếu của SC bên trên (ABCD) nên góc thân thuộc SC với mặt mũi bằng (ABCD) là SCM = 60°

Trong tam giác vuông SMC và SMD tớ có:

nhưng mà ABCD là hình vuông vắn nên MC = MD

Lại sở hữu

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên A, mặt mũi mặt SAB là tam giác đều nằm trong mặt mũi bằng vuông góc với mặt mũi bằng (ABC). tường AB = a, . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Thể tích khối chóp S.ABC là

⟹ Chọn C

Dạng 4. Khối chóp đều

Phương pháp giải

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu như lòng của chính nó là 1 trong những nhiều giác đều và những cạnh mặt mũi vị nhau

Kết quả: Trong hình chóp đều

– Đường cao hình chóp qua quýt tâm của nhiều giác đáy

– Các cạnh mặt mũi tạo nên với lòng những góc vị nhau

– Các mặt mũi mặt tạo nên với lòng những góc vị nhau

Chú ý:

– Đề bài xích mang đến hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) tớ hiểu là hình chóp đều

– Hình chóp tam giác đều không giống với hình chóp sở hữu lòng là nhiều giác đều vì thế hình chóp tam giác đều thì bạn dạng thân thuộc nó sở hữu lòng là tam giác đều và những cạnh mặt mũi đều bằng nhau, trình bày một cách tiếp, hình chóp tam giác đều thì suy đi ra hình chóp sở hữu lòng là tam giác đều tuy nhiên điều ngược lại là ko đúng

– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều phải có lòng là hình vuông

Bài luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vị a, góc thân thuộc cạnh mặt mũi và mặt mũi lòng vị 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Vì S.ABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều tâm G và SG ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Có AG là hình chiếu của AS bên trên (ABC) nên góc thân thuộc cạnh mặt mũi SA với lòng là (SA, AG) = SAG = 60° (vì SG ⊥ AG ⇒ SAG nhọn)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Trong tam giác SAG sở hữu SG = AG.tan60° = a

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng ABCD sở hữu diện tích S là 16cm², diện tích S một phía mặt mũi là cm². Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. cm³

B. cm³

C. cm³

D. 4cm³

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu S_ABCD = 16cm² ⇒ CD = 4cm

Xét ∆SOH vuông bên trên O có:

Vậy:

⟹ Chọn C

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu những cạnh mặt mũi vị và tạo nên với mặt mũi bằng lòng góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm ∆ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét ∆SGA vuông bên trên G có:

∆ABC đều

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vị a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc thân thuộc SG và mặt mũi bằng (SBC) là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Do ABC đều nên

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC nhưng mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)

⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM

⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°

Xét tam giác SGM vuông bên trên M có:

Do vậy

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh lòng vị a và cạnh mặt mũi vị 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABC) Ta sở hữu SA = SB = SC suy đi ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta sở hữu tam giác ABC đều nên

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh vị a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của ∆ABC

⇒ DO ⊥ (ABC)

∆DOC vuông có:

⟹ Chọn B

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu cạnh lòng vị 2a, cạnh mặt mũi vị . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông vắn cạnh 2a, tâm O; SO ⊥ (ABCD);

Diện tích hình vuông vắn ABCD

⇒ S.ABC_D = (2a²) = 4a²; ∆SAO vuông bên trên O sở hữu

Thể tích khối chóp S.ABCD:

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD sở hữu toàn bộ những cạnh có tính nhiều năm vị a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABCD).

Ta sở hữu SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD

⇒ ABCD là hình thoi sở hữu lối tròn xoe nước ngoài tiếp nên ABCD là hình vuông vắn.

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vị a, những cạnh mặt mũi SA, SB, SC đều tạo nên với lòng một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC), tớ sở hữu H là trọng tâm tam giác ABC, AH là hình chiếu của SA lên mp (ABC) nên (SAH) = 60°

Ta có:

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABC sở hữu cạnh mặt mũi vị a phù hợp với lòng ABC một góc 60°. Tính thể tích hình chóp.

Hướng dẫn giải

. Tính AO. Từ cơ suy đi ra được AH

⇒ Cạnh của tam giác lòng đều.

⟹ Chọn A

Dạng 5. Tỉ lệ thể tích

Phương pháp giải

Việc tính thể tích của một khối chóp thông thường học viên giải bị nhiều sơ sót. Tuy nhiên trong số đề đua lại đòi hỏi học viên tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp tiếp tục mang đến. Khi cơ học viên hoàn toàn có thể triển khai những cơ hội sau:

Cách 1:

– Xác ấn định nhiều giác đáy

– Xác ấn định lối cao (phải minh chứng lối cao vuông gới với mặt mũi bằng đáy)

– Tính thể tích khối chóp theo đòi công thức

Cách 2

– Xác ấn định nhiều giác đáy

– Tính những tỷ số phỏng nhiều năm của lối cao (nếu nằm trong nhiều giác đáy) hoặc diện tích S lòng (nếu nằm trong lối cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp tiếp tục mang đến và Kết luận thể tích khối cần thiết dò la vị k phiên thể tích khối tiếp tục mang đến.

Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ vận dụng mang đến khối chóp (tứ diện))

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC sở hữu đỉnh chung S và góc ở đỉnh S

Ta có:

Bài luyện vận dụng

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC sở hữu tam giác ABC vuông cân nặng ở B, , SA vuông góc với lòng ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt mũi bằng (α) qua quýt AG và tuy vậy song với BC hạn chế SC, SB theo thứ tự bên trên M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Hướng dẫn giải

Ta có: và SA = a

∆ABC cân nặng có:

Vậy:

Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm, tớ có:

Vậy:

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân nặng ở A và AB = a. Trên đường thẳng liền mạch qua quýt C và vuông góc với mặt mũi bằng (ABC) lấy điểm D sao mang đến CD = a. Mặt bằng qua quýt C vuông góc với BD, hạn chế BD bên trên F và hạn chế AD bên trên E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Hướng dẫn giải

Tính

Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (ACD)

⇒ AB ⊥ EC

Ta có: DB ⊥ EC

⇒ EC ⊥ (ABD)

Tính V_DCEF: Ta có:

(*)

Mà DE.DA = DC², phân chia mang đến DA² ⇒

Tương tự:

Từ (*) ⇒ . Vậy

⟹ Chọn B

Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt mũi bằng (α) qua quýt A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của nhì phần khối chóp bị phân loại vị mặt mũi bằng cơ.

Hướng dẫn giải

Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là tiết diện của khối chóp Lúc hạn chế vị mặt mũi bằng (ABM).

Mà

Do đó:

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, lòng là hình vuông vắn cạnh a, cạnh mặt mũi tạo nên với lòng góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt bằng trải qua AM và tuy vậy song với BD, hạn chế SB bên trên E và hạn chế SD bên trên F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Hướng dẫn giải

Gọi I = SO ∩ AM. Ta sở hữu (AEMF) // BD ⇒ EF // BD

với S_ABCD= a²

∆SOA có:

Phân phân chia chóp tứ giác tớ có:

Do đó: V_{S .AEMF} = V_SAMF + V_SAME = 2V_SAMF; V_S.ABCD= 2V_SACD = 2V_S.ABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

; ∆SAC sở hữu trọng tâm I, EF // BD nên:

⟹ Chọn D

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc lòng, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A theo thứ tự lên SB, SD. Mặt bằng (AB’D’) hạn chế SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta sở hữu BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’; SB ⊥ AB’.

Suy ra: AB’ ⊥ (SBC) nên AB’ ⊥ SC. Tương tự động AD’ ⊥ SC.

Vậy SC ⊥ (AB’D’)

Tính V_{S.AB’C’D’}

Tính V_S.AB’C’: Ta có: (*)

∆SAC vuông cân nặng nên

Ta có:

Từ (*) ⇒

Ta có:

⟹ Chọn A

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của SB và SD. Mặt bằng AB’D’ hạn chế SC bên trên C’. Tính tỉ số thể tích của nhì khối chóp SAB’C’D’ và S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O = AC ∩ BD. Ta sở hữu AC’, B’D’, SO đồng quy bên trên I và I là trung điểm của SO.

Kẻ OC” // AC’. Ta sở hữu SC’ = C’C” = C”C nên

Ta sở hữu

Tương tự động tớ cũng có:

Vậy

⟹ Chọn C

Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mũi bằng lòng và SA = 2a. Gọi B’, D’ theo thứ tự là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt bằng (AB’D’) hạn chế SC bên trên C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu AB’ ⊥ SB, AB’ ⊥ CB ⇒ AB’ ⊥(SBC)

⇒ AB’ ⊥ SC (a)

Tương tự động AD’ ⊥ SC (b)

Từ (a) và (b) suy đi ra SC ⊥ (AB’C’D’) ⇒ SC ⊥ AC’

Do tính đối xứng, tớ sở hữu V_{SAB’C’D’} = 2V_SAB’C’

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC = 60°, ASC = 90°. Thể tích của khối chóp S.ABC vị V. Tỉ số là:

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm SC, tớ sở hữu SM = a

⇒ ∆SAM vuông cân nặng bên trên S. Gọi H là trung điểm của AM.

Ta sở hữu

Ta sở hữu SM = BM = a và BSC = 60° ⇒ ∆BSM đều ⇒ BM = a ⇒ ∆BSM đều

Ta sở hữu AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân nặng bên trên B.

Mặt khác: AB² + BM² = 2a² và AM² = 2a² ⇒ AB² + BM² = AM²

⇒ ABM vuông cân nặng bên trên B (định lý pitago đảo) ⇒

Ta sở hữu

⇒ ∆SHB vuông cân nặng bên trên H (định lý pitago đảo)

Ta sở hữu SH ⊥ AM, SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ (ABM)

⟹ Chọn B

*Cách khác: Sử dụng công thức giải nhanh

Tổng quát: Cho chóp S.ABC sở hữu SA = a, SB = b, SC = c và ASB =α, BSC = β, ASC = γ.

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Áp dụng vô bài xích này tớ được:

⟹ Chọn B

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc thân thuộc mặt mũi mặt và mặt mũi bằng lòng là α thoả mãn . Mặt bằng (P) qua quýt AC và vuông góc với mặt mũi bằng (SAD) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành nhì khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhì khối nhiều diện là sớm nhất với độ quý hiếm nào là trong số độ quý hiếm sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ (ABCD). Gọi N là trung điểm CD

Kẻ CM ⊥ SD. Ta có

Nên mặt mũi bằng (P) là (ACM)

Xét tam giác SON vuông bên trên N có:

Xét tam giác SOD vuông bên trên O có:

Ta sở hữu

Xét tam giác MCD vuông bên trên M có:

Ta có:

Mặt bằng (P) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành 2 khối MACD và S.ABCM

Do đó:

⟹ Chọn A

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh a, góc thân thuộc mặt mũi mặt và mặt mũi bằng lòng là α. Mặt bằng (P) qua quýt AC vuông góc với mặt mũi bằng (SAD) phân chia khối chóp S.ABCD trở thành nhì khối nhiều diện. Tỉ lệ thể tích nhì khối nhiều diện là .

Chứng minh:

Ta có:

Do vậy:

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu cạnh lòng vị a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc thân thuộc SG và mặt mũi bằng (SBC) là 30°. Mặt bằng (P) chứa chấp BC và vuông góc với SA phân chia khối chóp S.ABC trở thành nhì phần. Tỉ số thể tích nhì phần là: