Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Bài viết lách Các công thức về cấp cho số nhân khá đầy đủ nhất Toán lớp 11 hoặc nhất bao gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức không ngừng mở rộng và Bài tập dượt minh họa vận dụng công thức nhập bài bác đem điều giải cụ thể hùn học viên dễ dàng học tập, dễ dàng lưu giữ Các công thức về cấp cho số nhân khá đầy đủ nhất.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

Bạn đang xem: Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân chi tiết, dễ hiểu

Cấp số nhân là 1 sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn), nhập cơ Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một số trong những ko thay đổi q. 

Số q được gọi là công bội của cấp cho số nhân. 

Nếu (u_n) là cấp cho số nhân với công bội q, tao đem công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ N^* 

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp cho số nhân đem dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp cho số nhân đem dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với từng q, cấp cho số nhân đem dạng 0; 0; 0; … 0; … 

b) Số hạng tổng quát lác của cấp cho số nhân (u_n) được xác lập tự công thức: 

u_n = u₁ . q^{n - 1} với ∀n ∈ N^*, n ≥ 2

c) Tính chất

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là tía số hạng tiếp tục của cấp cho số nằm trong Lúc và chỉ Lúc u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

d) Tổng n số hạng trước tiên của cấp cho số nhân được xác lập tự công thức:

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp cho số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. Lúc cơ S_n = n.u₁. 

2. Công thức

- Công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với n ∈ N^*

- Công thức số hạng tổng quát: u_n = u₁ . q^{n - 1} với ∀n ∈ N, n ≥ 2

- Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là tía số hạng tiếp tục của cấp cho số nằm trong Lúc và chỉ khi u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

- Tổng n số hạng đầu tiên: 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân (u_n) với u₁ = 3, q = – 2. 

a) Tính số hạng loại 25 của cấp số nhân.

b) Số 49152 là số hạng loại từng nào của cấp số nhân.

c) Tính tổng của 100 số hạng trước tiên của cấp số nhân.

Lời giải

Xem thêm: Giá chai nhựa phế liệu Tháng Tư Năm 2024

a) Số hạng loại 25 của cấp cho số cộng: u₂₅ = u₁ . q^25-1 = 3.(– 2)²⁴ = 3.2²⁴.

b) Gọi số hạng loại k là số 49152, tao có 

u_k = u₁.q^k-1 = 49152

⇔ 3.(-2)^k-1 = 49152

⇔ (-2)^k-1 = 16384 = (-2)¹⁴

⇔ k = 15

Vậy số 49152 là số hạng loại 15 của cấp cho số nhân.

c) Tổng 100 số hạng đầu tiên: 

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân (u_n) thỏa mãn: 

a) Tìm số hạng trước tiên và công bội của cấp cho số nhân.

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp cho số nhân.

c) Tính tổng S = u₁ + u₃ + u₅ +u₇ +…+ u₂₀₁.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong, tao có: 

Vậy u₁ = 16 và q = 2.

b) Tổng 100 số hạng đầu tiên: 

c) Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; u₇; … u₂₀₁ là cấp cho số nhân với số hạng trước tiên là u₁ và công bội 

Dãy (v_n) có  số hạng

4. Giải đáp thắc mắc

Cấp số nhân là gì và cơ hội xác lập công thức tổng của nó?

Cấp số nhân là 1 sản phẩm số nhập cơ từng số tiếp sau đó đều tự một hằng số gọi là công bội nhân với số trước cơ nhằm chiếm được số tiếp sau. Công thức tổng của cấp số nhân là S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r), nhập cơ S_n là tổng n số trước tiên của cấp cho số nhân, n là con số số nhập sản phẩm, a là số hạng trước tiên và r là công bội.

Xem thêm: Các loại biển báo hình tròn nền xanh và ý nghĩa của chúng

Các đặc điểm đặc trưng của cấp cho số nhân là gì?

Cấp số nhân đem những đặc điểm đặc trưng như tổng n số trước tiên, tổng vô hạn và giới hạn của cấp cho số nhân. Khi độ quý hiếm của công bội nhân r ở trong tầm -1 cho tới 1, cấp cho số nhân quy tụ về một độ quý hiếm thắt chặt và cố định Lúc con số số nhập sản phẩm tiến thủ cho tới vô nằm trong.

Cách tính số hạng loại n nhập cấp cho số nhân?

Để tính số hạng loại n nhập cấp cho số nhân, tao dùng công thức a_n = a * r^(n-1), nhập cơ a_n là số hạng loại n, a là số hạng trước tiên, r là công bội và n là số trật tự của số hạng cần thiết tính.

Ứng dụng của cấp cho số nhân nhập thực tiễn là gì?

Cấp số nhân có khá nhiều phần mềm nhập thực tiễn như nhập tài chủ yếu, kinh tế tài chính, khoa học tập PC, xử lý tín hiệu, và nhiều nghành không giống. Ví dụ, nhập tài chủ yếu, cấp cho số nhân được dùng nhằm tính lãi vay lũy tiến; nhập khoa học tập PC, nó được vận dụng trong những thuật toán tối ưu và mã hóa vấn đề.