Đạo hàm giá trị tuyệt đối của |x| là gì?

Bạn cũng hoàn toàn có thể dùng công thức đạo hàm theo gót khái niệm chuẩn chỉnh nhằm tính đạo hàm của hàm số nó = |x|,

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - x}{\Delta x}$$

Thay độ quý hiếm |x| nhập, đạo hàm của nó sẽ tiến hành tính vì chưng,

$$y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|x + \Delta x| - |x|}{\Delta x} \hspace{1cm} (1)$$

Nhìn nhập biểu thức đạo hàm bên trên, bạn cũng có thể thấy rằng đạo hàm sẽ không còn xác lập bên trên địa điểm $\Delta x = 0$, cũng chính vì hàm số nó = |x| là 1 trong hàm số ko liên tiếp và sở hữu dạng,

$$ nó = \begin{cases} x & \quad \text{nếu } x \geq 0\\ -x & \quad \text{nếu } x < 0 \end{cases} $$

nếu vẽ vật dụng thị của hàm số nó = |x|, các bạn sẽ thấy rõ ràng rộng lớn,

Cho nên, tất cả chúng ta ko thể thay cho thẳng $\Delta x = 0$ nhập (1) nhằm tính được, tất cả chúng ta cần thiết biến hóa trở nên một dạng không giống nhằm hình mẫu không giống 0 Lúc thay cho $\Delta x = 0$ nhập là được, sở hữu rất nhiều cách thức thực hiện, bản thân tiếp tục thực hiện như sau,

Thứ nhất, fake phương trình về dạng căn của bình phương, cũng chính vì tất cả chúng ta hiểu được $|x| = \sqrt{x^2}$,

$$(1) \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{(x + \Delta x)^2} - \sqrt{x^2}}{\Delta x}$$

Thứ nhị, nhân tử và hình mẫu cho tới $\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2}$ mục tiêu nhằm khử tình huống hình mẫu vì chưng 0,

$$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} - \sqrt{x^2} \right) \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2} \right)}{\Delta x \left(\sqrt{(x + \Delta x)^2} + \sqrt{x^2} \right)}$$

Tới phía trên, bạn cũng có thể đo lường và tính toán nhân phân tách nằm trong trừ thông thường được rồi, bản thân tiếp tục nối tiếp,

$$ \begin{align} & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 + x^2(x+\Delta x)^2 - x^2(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x \left(\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}\right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2 - x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{2x \Delta x}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} + \frac{\Delta x^2}{\Delta x \left( \sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2} \right)} \right) \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{2x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} + \frac{\Delta x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} \right) \\ & \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{\sqrt{(x+\Delta x)^2}+\sqrt{x^2}} \hspace{1cm} (2) \end{align} $$

Vì $\Delta x$ tiến bộ cho tới 0, và sau đó 1 hồi biến hóa, bạn cũng có thể thay cho $\Delta x = 0$ nhập (2), tớ được,

$$ \begin{align} & = \frac{2x}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{2x}{2\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{x}{\sqrt{x^2}} \\ & = \frac{x}{|x|} \end{align} $$

Kết trái khoáy câu vấn đáp của doanh nghiệp @Đức FC và @Quang Thiên rất rất đúng đắn tuy nhiên nó trình bày công cộng cho tới từng tình huống của $x$, bản thân van ghi chép lại thành quả đạo hàm độ quý hiếm vô cùng của $x$ là $\frac{x}{|x|}$ (theo câu vấn đáp của doanh nghiệp @Đức FC) trở nên một dạng không giống cho tới những chúng ta này cảm nhận thấy khó khăn hiểu, về chân thành và ý nghĩa thì trọn vẹn như là nhau nhé.

$$ y' = \begin{cases} 1 & \quad \text{nếu } x > 0 \\ -1 & \quad \text{nếu } x < 0 \hspace{1cm} (1) \\ \nexists & \quad \text{nếu }x = 0 \end{cases} $$

Với $\nexists$ Có nghĩa là ko xác lập hoặc ko tồn bên trên. Tại sao bản thân hoàn toàn có thể ghi chép như vậy được? Đó là thành quả của việc bản thân dùng định nghĩa số lượng giới hạn trái khoáy và số lượng giới hạn nên nhằm tính đạo hàm chứ không biến hóa như chúng ta @Đức FC (đó cũng chỉ là 1 trong nhập đặc điểm của số lượng giới hạn thôi)

Nếu số lượng giới hạn trái khoáy bên trên $x^{-}$ vì chưng số lượng giới hạn nên bên trên $x^{+}$ thì đạo hàm được xác lập bên trên $x$ và ngược lại.

Mình tiếp tục thực hiện như sau,

Xét tình huống x >0 thì:

$$y = x \Rightarrow y' = 1 \hspace{1cm} (2)$$

Xét tình huống x < 0 thì:

$$y = -x \Rightarrow y' = - 1 \hspace{1cm} (3) $$

Xét tình huống x = 0, tương tự động như bên trên, theo gót khái niệm công thức đạo hàm, chúng ta đơn giản dễ dàng nhận ra Lúc $x$ tiến bộ cho tới 0, đạo hàm ko xác lập, và bản thân tiếp tục dùng định nghĩa số lượng giới hạn trái khoáy - nên nhằm chứng tỏ là nó ko xác lập bên trên $x = 0$,

Tính số lượng giới hạn nên,

$$y'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} = \frac{f(x) - f(0^+)}{x - 0^+} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$$

Tính số lượng giới hạn trái khoáy,

$$y'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} = \frac{f(x) - f(0^-)}{x - 0^-} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$$

Do số lượng giới hạn nên không giống với số lượng giới hạn trái khoáy bên trên $x = 0$,

$$y'(0^+) = 1 \neq y'(0^-) = -1 \Rightarrow \nexists y'(0) \hspace{1cm} (4)$$

Cho nên ko tồn bên trên đạo hàm bên trên $x = 0$. Từ $(2)$, $(3)$ và $(4)$ suy rời khỏi được biểu thức $(1)$ là thành quả cần thiết dò la.