Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - TOANMATH.com

Bài ghi chép chỉ dẫn cách thức xác lập tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, kỹ năng và những ví dụ vô nội dung bài viết được xem thêm kể từ những tư liệu nón – trụ – cầu đăng lên bên trên TOANMATH.com.

Phương pháp: Cách xác lập tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
+ Xác lăm le trục $d$ của lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác lòng ($d$ là đường thẳng liền mạch vuông góc với lòng bên trên tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác đáy).
+ Xác lăm le mặt mũi bằng trung trực $\left( Phường \right)$ của một cạnh mặt mũi (hoặc trục $\Delta $ của của lối tròn xoe nước ngoài tiếp một nhiều giác của mặt mũi bên).
+ Giao điểm $I$ của $\left( Phường \right)$ và $d$ (hoặc của $\Delta $ và $d$) là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp.
+ Bán kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp là chừng nhiều năm đoạn trực tiếp nối tâm $I$ với 1 đỉnh của hình chóp.

Bạn đang xem: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - TOANMATH.com

Nhận xét: Hình chóp sở hữu lòng hoặc những mặt mũi mặt là những nhiều giác ko nội tiếp được lối tròn xoe thì hình chóp ê ko nội tiếp được mặt mũi cầu.

Ta xét một trong những hình trạng chóp thông thường gặp gỡ và cơ hội xác lập tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ê.
Dạng 1. Hình chóp sở hữu những điểm nằm trong nhìn một quãng trực tiếp $AB$ bên dưới một góc vuông.
Phương pháp:
+ Tâm: Trung điểm của đoạn trực tiếp $AB$.
+ Bán kính: $R=\frac{AB}{2}$.

Ví dụ:
• Hình chóp $S.ABC$ sở hữu lối cao $SA$, lòng $ABC$ là tam giác vuông bên trên $B.$

Ta sở hữu $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^o}$, suy ra $A,B$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi ê, mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$ có:
+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$
+ Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2}.$

• Hình chóp $S.ABCD$ sở hữu lối cao $SA$, lòng $ABCD$ là hình chữ nhật.

Ta có $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = \widehat {SDC} = {90^o}$, suy ra $A,B,D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi ê, mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABCD$ có:
+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$
+ Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2}.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông bên trên $B$, $SA$ vuông góc với mặt mũi bằng $\left( ABC \right)$ và $SC=2a$. Tính nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA \left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB.$
$SA \bot \left( {ABC} \right)$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$
Suy ra: Hai điểm $A$, $B$ nằm trong nhìn $SC$ bên dưới một góc vuông.
Vậy nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = \frac{{SC}}{2} = a.$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông vắn bên trên, $SA$ vuông góc với mặt mũi bằng $\left( ABCD \right)$ và $SC=2a$. Tính nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB.$
Chứng minh tương tự động tao được: $CD \bot SD.$
$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$
Suy ra: Ba điểm $A$, $B$, $D$ nằm trong nhìn $SC$ bên dưới một góc vuông.
Vậy nửa đường kính mặt mũi cầu là $R=\frac{SC}{2}=a.$

Dạng 2. Hình chóp đều.
Phương pháp:
• Hình chóp tam giác đều $S.ABC$:

• Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$:

Gọi $O$ là tâm của đáy $\Rightarrow SO$ là trục của lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh mặt mũi, chẳng hạn như $\text{mp}\left( SAO \right)$, tao vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ và cắt $SO$ tại $I$ $\Rightarrow I$ là tâm của mặt ước nước ngoài tiếp hình chóp.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOA$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}}$, suy rời khỏi bán kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp là: $R = IS = \frac{{SN.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}.$

Ví dụ 3: Tính nửa đường kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết những cạnh lòng có tính nhiều năm bởi vì $a$, cạnh mặt mũi $SA=a\sqrt{3}$.

Xem thêm: MỚI! Bao lâu là thời gian bay từ Việt Nam đến Úc? - Mytour - Mytour

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, tao sở hữu $SO\bot \left( ABC \right)$ nên $SO$ là trục của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N$ là trung điểm của $SA$, vô $mp\left( SAO \right)$ kẻ trung trực của $SA$ tách $SO$ bên trên $I$ thì $IS$ = $IA$ = $IB$ = $IC$ nên $I$ đó là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$. Bán kính mặt mũi cầu là $R=SI$.
Vì nhì tam giác $SNI$ và $SOA$ đồng dạng nên tao sở hữu $\frac{SN}{SO}=\frac{SI}{SA}$.
Suy rời khỏi $R=SI=\frac{SN.SA}{SO}$ $=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.
Mà $AO=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Nên $R=SI=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.

Ví dụ 4: Tính nửa đường kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp tứ giác đều phải có cạnh lòng bởi vì $a$, cạnh mặt mũi bởi vì $2a$.

Gọi $O$ là tâm lòng thì $SO$ là trục của hình vuông vắn $ABCD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SD$, vô $mp(SDO)$ kẻ trung trực của đoạn $SD$ tách $SO$ bên trên $I$ thì $IS = IA = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABCD$. Bán kính mặt mũi cầu là $R=SI$.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOD$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SD}}$ $ \Rightarrow R = SI = \frac{{SD.SN}}{{SO}} = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}}.$
Mà $S{O^2} = S{D^2} – O{D^2}$ $ = 4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}$ $ \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}.$
Vậy $R = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}.$
[ads]
Dạng 3. Hình chóp sở hữu cạnh mặt mũi vuông góc với mặt mũi bằng lòng.
Phương pháp: Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có cạnh mặt mũi $SA\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}} \right)$ và đáy ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ nội tiếp được vô đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ được xác định như sau:
+ Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, tao vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}} \right)$ tại $O$.
+ Trong $mp\left( d,S{{A}_{1}} \right)$, tao dựng đường trung trực $\Delta $ của cạnh $SA$, cắt $S{{A}_{1}}$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$.
+ Khi đó: $I$ là tâm mặt ước ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=I{{A}_{n}}=IS$.
+ Tìm bán kính: Ta có: $MIO{A_1}$ là hình chữ nhật, xét $\Delta M{A_1}I$ vuông tại $M$ có: $R = {A_1}I = \sqrt {M{I^2} + M{A_1}^2} $ $ = \sqrt {{A_1}{O^2} + {{\left( {\frac{{S{A_1}}}{2}} \right)}^2}} .$

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ sở hữu cạnh $SA$ vuông góc với lòng, $ABC$ là tam giác vuông bên trên $A$, biết $AB=6a$, $AC=8a$, $SA=10a$. Tìm nửa đường kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Suy rời khỏi $O$ là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$ vuông bên trên $A$.
Dựng trục $d$ của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$; vô mặt mũi bằng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và tách $d$ bên trên $I$.
Suy rời khỏi $I$ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$ và nửa đường kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta sở hữu tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông bên trên $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{4} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = 5a\sqrt 2 .$

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABC$ sở hữu cạnh $SA$ vuông góc với lòng, $ABC$ là tam giác đều cạnh bởi vì $a$, $SA=2a$. Tìm nửa đường kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.

Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Suy rời khỏi $O$ là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác đều $ABC$.
Dựng trục $d$ của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$; vô mặt mũi bằng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và tách $d$ bên trên $I$.
Suy rời khỏi $I$ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$ và nửa đường kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta sở hữu tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông bên trên $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$

Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ sở hữu cạnh $SA$ vuông góc với lòng, $ABC$ là tam giác cân nặng bên trên $A$ và $AB=a$, $\widehat{BAC}=120^o $, $SA=2a$. Tính nửa đường kính của mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.

Gọi $O$ là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp của tam giác $ABC$.
Dựng trục $d$ của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$; vô mặt mũi bằng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và tách $d$ bên trên $I$.
Suy rời khỏi $I$ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$ và nửa đường kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Mặt không giống, tao có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A$ $ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos {\rm{A}}} $ $ = a\sqrt 3 .$
$OA$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = \frac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{ABC}}}} = a.$
Tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật nên $NI=OA=a$.
Xét tam giác $NAI$ vuông bên trên $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .$

Dạng 4. Hình chóp xuất hiện mặt mũi vuông góc với mặt mũi bằng lòng.
Đối với dạng toán này thì mặt mũi mặt vuông góc thông thường là tam giác vuông, tam giác cân nặng hoặc tam giác đều.
Phương pháp:
+ Xác lăm le trục $d$ của lối tròn xoe lòng.
+ Xác lăm le trục $\Delta $ của lối tròn xoe nước ngoài tiếp mặt mũi mặt vuông góc với lòng.
+ Giao điểm $I$ của $d$ và $\Delta $ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp.

Xét hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ xuất hiện mặt mũi vuông góc với mặt mũi lòng, ko rơi rụng tính quát tháo tao fake sử mặt mũi mặt $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)$ vuông góc với mặt mũi lòng và $\Delta S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân nặng hoặc tam giác đều.
Gọi ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ theo thứ tự là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Dựng $d$ và $\Delta $ theo thứ tự là trục lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Gọi $I$ là gửi gắm điểm của $d$ và $\Delta $ thì $I$ cơ hội đều những đỉnh ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, …, ${{A}_{n}}$ và $S$ nên $I$ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Ta sở hữu tứ giác ${{O}_{2}}I{{O}_{1}}H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$; $S{{O}_{2}}={{R}_{b}}$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$; ${{A}_{1}}{{O}_{1}}={{R}_{đ}}$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Tam giác $S{{O}_{2}}I$ vuông bên trên ${{O}_{2}}$ nên: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_2}{I^2}} $ $ = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}{H^2}} .$
Tam giác ${{A}_{1}}{{O}_{1}}H$ vuông bên trên $H$ nên: ${O_1}{H^2} = {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}.$
Do đó: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}} .$
Mặt không giống, nếu như tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông bên trên $S$ thì ${{O}_{2}}\equiv H$ và trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ hoặc $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác cân nặng bên trên $S$ hoặc đều thì tao cũng đều có $H$ trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ nên ${{A}_{1}}H=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}$.
Suy rời khỏi $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {{\left( {\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}} \right)}^2}} .$
Hay $R = \sqrt {{R_b}^2 + {R_đ}^2 – \frac{{{\partial ^2}}}{4}} $, với $\partial $ là chừng nhiều năm cạnh cạnh cộng đồng của mặt mũi mặt vuông góc với lòng.

Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABC$ sở hữu lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $A$. Mặt mặt mũi $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta SAB$ đều cạnh bởi vì $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

Gọi $H$, $M$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$, $AC$.
Ta sở hữu $M$ là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp $\Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).
Dựng $d$ là trục lối tròn xoe nước ngoài tiếp $\Delta ABC$ ($d$ qua quýt $M$ và tuy nhiên song $SH$).
Gọi $G$ là tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp $\Delta SAB$ và $\Delta $ là trục lối tròn xoe nước ngoài tiếp $\Delta SAB$, $\Delta $ tách $d$ bên trên $I$. Suy rời khỏi $I$ là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.
Suy rời khỏi nửa đường kính $R=SI$. Xét $\Delta SGI$, suy rời khỏi $SI=\sqrt{G{{I}^{2}}+S{{G}^{2}}}$.
Mà $SG=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $GI=HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$.
Nên $R=SI=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$.

Xem thêm: Vietnam Visa for Saudi Arabia Citizens - Vietnam evisa up to 90 days 2024

Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ sở hữu lòng $ABC$ là tam giác đều cạnh bởi vì $1$, mặt mũi mặt $SAB$ là tam giác đều và ở trong mặt mũi bằng vuông góc với mặt mũi bằng lòng. Tính thể tích $V$ của khối cầu nước ngoài tiếp hình chóp tiếp tục mang đến.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SM\bot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Mặt không giống tự $\left( SAB \right)\bot (ABC)$ nên $SM\bot (ABC)$.
Tương tự: $CM\bot (SAB)$.
Gọi $G$ và $K$ theo thứ tự là tâm của những tam giác $ABC$ và $SAB$.
Trong mặt mũi bằng $(SMC)$, kẻ đường thẳng liền mạch $Gx\text{//}SM$ và kẻ đường thẳng liền mạch $Ky\bot SM$.
Gọi $O=Gx\cap Ky$, thì tao có: $\left\{ \begin{array}{l}
OG \bot (SAB)\\
OK \bot (ABC)
\end{array} \right.$
Suy rời khỏi $OG,OK$ theo thứ tự là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.
Do ê tao có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hoặc $O$ đó là tâm mặt mũi cầu nước ngoài tiếp hình chóp $S.ABC$.
Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật sở hữu $MK=MG=\frac{\sqrt{3}}{6}$ nên $OKMN$ là hình vuông vắn.
Do ê $OK=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Mặt không giống $SK=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Xét tam giác $SKO$ vuông bên trên $K$ có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} $ $ = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.$
Suy rời khỏi nửa đường kính mặt mũi cầu cần thiết tìm hiểu là $R=OS=\frac{\sqrt{15}}{6}$. Vậy thể tích khối cầu cần thiết tìm hiểu là:
$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3}$ $ = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}.$